Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为CC₁的中点．
求证：（1）AC₁∥平面BDE；（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer

（1）因为OE∥AC1且OE⊂平面BDE，AC1⊈平面BDE所以AC1∥平面BDE．
（2）由B1E⊥BE且A1B1⊥BE可得BE⊥平面A1B1E．有题意得A1E⊥BE，A1E⊥DE所以A1E⊥平面BDE
（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O．由条件得ABCD为正方形，
所以O为AC中点．
∵E为CC1中点，
∴OE∥AC1．
∵OE⊂平面BDE，AC1⊈平面BDE．
∴AC1∥平面BDE．
（2）连接B1E．设AB=a，则在△BB1E中，BE=B1E=a，BB1=2a．
∴BE2+B1E2=BB12．
∴B1E⊥BE．
由正四棱柱得，A1B1⊥平面BB1C1C，
∴A1B1⊥BE．
∴BE⊥平面A1B1E．
∴A1E⊥BE．
同理A1E⊥DE．
∴A1E⊥平面BDE．