Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．

Answer

（1）设C：（a＞b＞0），由条件知a-c=，=，由此能导出C的方程．
（2）由，，知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（1）设C：（a＞b＞0），设c＞0，c2=a2-b2，由条件知a-c=，=，
∴a=1，b=c=，故C的方程为：y2+=1．
（2）由，
∴λ+1=4，λ=3或O点与P点重合，
当O点与P点重合时，m=0
当λ=3时，直线l与y轴相交，则斜率存在．
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0 （*）
x1+x2=，x1x2=                          
∵=3，
∴-x1=3x2
∴，
消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（）2+4=0
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0                          
m2=时，上式不成立；
m2≠时，k2=，
因λ=3，∴k≠0，∴k2=＞0，
∴-1＜m＜- 或 ＜m＜1
容易验证k2＞2m2-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）∪{0}