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已知函数 (1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明); (2)若...

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(1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明);
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明方程f-1(x)=0有解,且有唯一解;
(3)解关于x的不等式f[x(x+1)]>1.
(1)让分母不为0且真数大于0求解即可.把f(x)分成两个函数,分别求单调性,再利用复合函数的单调性即可. (2)令x=0,得f(0)=1.即x=0是方程f-1(x)=0的一个解,再利用反证法证明f-1(x)=0有且只有一个解; (3)利用f(x)为定义在(-1,1)上的增函数,把f[x(x+1)]>1=f(0)的符号“f”脱去,问题转化为二次不等式问题即可. 【解析】 (1)由,及1-x≠0,得:-1<x<1, ∴f(x)的定义域为(-1,1),…(2分) 由于和在(-1,1)上都是增函数, ∴f(x)在定义域(-1,1)内是增函数.      …(4分) (2)令x=0,得f(0)=1.即x=0是方程f-1(x)=0的一个解…(7分) 设x1≠0是f-1(x)=0的另一解,则由反函数的定义知f(0)=x1≠0, 这与f(0)=1矛盾,故f-1(x)=0有且只有一个解.…(10分) (3)由f[x(x+1)]>1=f(0),且f(x)为定义在(-1,1)上的增函数,得0<x(x+1)<1, 解得或,这也即为不等式f[x(x+1)]>1的解.…(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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