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设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x<(2n-1)x(n∈N′)的解集中...

设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x<(2n-1)x(n∈N′)的解集中整数的个数.
(1)求an并且证明{an}是等差数列;
(2)设m、k、p∈N*,m+p=2k,求证:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由.
(1)由题意知数列{an}的通项是关于x的不等式的解集中整数的个数,题目首先应该解不等式,从不等式的解集中得到整数的个数,得到数列的通项,用等差数列的定义来验证. (2)根据前面结果写出要用的前几项的和,从不等式的一侧入手,利用均值不等式得到要求的结论. (3)本题是对上一问的延伸,方法和前面的类似,但题目所给的一般的各项均为正数的等差数列在整理时增加了难度,题目绝大部分工作是算式的整理,注意不能出错. 【解析】 (1)不等式x2-x<(2n-1)x即x(x-2n)<0 解得:0<x<2n,其中整数有2n-1个 ∴an=2n-1, 由通项公式可得:an-an-1=2, ∴数列{an}是等差数列; (2)由(1)知, ∴Sm=m2,Sp=p2,Sk=k2. 由= ≥=0, 即≥; (3)结论成立,证明如下: 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则, ∵=, 把m+p=2k代入上式化简得Sm+Sp-2Sk=≥0, ∴Sm+Sp≥2Sk. 又= ≤===, ∴≥. 故原不等式得证.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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