Question

设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围

Answer

（1）设0＜a＜b，由b=•a及f（mn）=f（m）+f（n），证明f（a）＜f（b），得到f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）先求出f（16）的值，利用f（x）在（0，+∞）上是增函数得出x（x+6）＜16，进而求出不等式的解．
（3）利用函数的单调性及函数的值域，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）设0＜a＜b，则b-a＞0，＞1，
∵任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（b）=f（•a）=f（）+f（a），
∵当x＞1时，恒有f（x）＞0，∴f（b）-f（a）=f（）＞0，
∴f（a）＜f（b），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（4）=1，
∴f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
不等式即不等式即：f（x（x+6））＜f（16），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴x（x+6）＜16，∴x＜-8 或x＞2，
f（x）定义域是（0，+∞），
∴x＞2，
∴不等式的解集是{ x|x＞2}．
（3）由（2）的结果知，
x∈[4，16]时，f（x）≤f（16）=2，∴a≥2．
∴实数a的取值范围是 a≥2．