Question

已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y²=4mx和椭圆弧
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为椭圆C的长轴长是焦距的两倍，所以可得到a，b之间的关系，当m=1时，可知抛物线方程，据此能够求出抛物线的准线方程，因为抛物线的准线与x轴交于椭圆的左焦点F1，所以可求出椭圆中c的值，再根据a，b，c之间的关系，就可求出a，b的值，得到椭圆方程．
（2）设出直线l的点斜式方程，与（1）中所求椭圆方程联立，用韦达定理求出x1+x2，x1x2，再利用弦长公式求出|AB|，让其等于焦点三角形△PF1F2的周长，即可解出斜率k，得到直线l的方程．
（3）先假设存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，由A1、A2所在曲线上的位置，分3种情况，①当A1、A2同时在抛物线弧上时，②当A1、A2同时在椭圆弧上时，③当A1在抛物线弧上，A2在椭圆弧上时，分别计算k值，看所求k值是否在，若k值存在，则假设正确，否则，假设不正确．
【解析】
（1）设椭圆的实半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
当m=1时，由题意得，a=2c=2，b2=a2-c2=3，a2=4，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），由得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
由直线l与抛物线M有两个交点，可知k≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，则
又△PF1F2的周长为2a+2c=6，所以，
解得，从而可得直线l的方程为
（3）由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧和椭圆弧合成，且、．
假设存在△OA1A2为等腰直角三角形，由A1、A2所在曲线的位置做如下3种情况讨论：
①当A1、A2同时在抛物线弧上时，由OP1、OP2的斜率分别为，∠A1OA2比为钝角，显然与题设矛盾．此时不存在                
②当A1、A2同时在椭圆弧上时，由椭圆与等腰直角三角形的对称性知，
两直角边关于x轴对称．
即直线OA1的斜率为1，直线OA2的斜率为-1，
得符合题意；此时存在
③不妨设当A1在抛物线弧上，A2在椭圆弧上时，
于是设直线OA1的方程为y=kx（其中），将其代入y2=4mx得；
由OA1⊥OA2，直线OA2的方程为，
同理代入椭圆弧方程得，
由|OA1|=|OA2|得3k4-12k2-16=0，解得与矛盾，此时不存在．
因此，存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，两直角边所在直线的斜率分别为1和-1．