Question

数列{a_n}中，已知a₁=-2，a₂=-1，a₃=1，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，且a_n+1a_n+2a_n+3≠1，则该数列的前2010 项和S₂₀₁₀=（ ）
A．2010
B．-2011
C．-2010
D．-2008

Answer

分别表示出anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，两式相减可推断出an+4=an，进而可知数列{an}是以4为周期的数列，只要看2010是3的多少倍，然后通过a1=-2，a2=-1，a3=1求得a4，而2010是4的502倍余2，故可知S2010=502×（-2-1+1-2）+a1+a2答案可得．
【解析】
依题意可知，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，
两式相减得an+1an+2an+3（an+4-an）=an+4-an，
∵an+1an+2≠1，
∴an+4-an=0，即an+4=an，
∴数列{an}是以4为周期的数列，
∵a1a2a3a4=a1+a2+a3+a4∴a4=-2
∴S2010=502×（-2-1+1-2）+a1+a2=-2011
故选B