Question

已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（3）在（2）的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范围．

Answer

（1）求函数的定义域，即真数大于零，解含参数的不等式；
（2）利用定义域关于原点对称，求出a的值；然后再看f（x）与 f（-x）的关系，确定函数的奇偶性；
（3）求出函数的反函数，分离参数，转化为求函数的值域．
【解析】
（1），
所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当-2a-1=-（3a-1）⇔a=2，
此时，．（6分）
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
，所以f（x）为奇函数；（8分）
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；（10分）
（3），x≠0  （12分）
方程f-1（x）=5k⋅2x-5k即，令2x=t，则t＞0且t≠1，得，
又，所以当k＞0，f-1（x）=5k⋅2x-5k解．（14分）