Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函数f（x）和g（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）²]上都是减函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，比较f（1）与的大小，写出理由．

Answer

（1）：观察可以发现f（x）为一元二次函数，要使f（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）2]上为减函数，只需对称轴在区间的右侧即可，g（x）为一次函数，要使为减函数只需（a+1）＜0就行，然后让两者同时成立，就可以求出实数a的取值范围；
（2）先根据（1）的实数a的取值范围求出f（1）的范围，然后与作差比较就行了．
【解析】
由题意知
（1）由g（x）=（a+1）x为减函数得：a＜-1
；
当，即时，f（x）为减函数
∴当时，f（x）和g（x）都是减函数
且此时，lg|a+2|＜0＜（a+1）2，
∴a的取值范围是
（2）由
令h（a）=f（1）=
对任意，

所以h（a）在区间上为增函数；
故 
∴
∴f（1）＞．
故：（1）a的取值范围是；（2）f（1）＞．