Question

已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[-1，1]恒成立，求实数q的取值范围．

Answer

（1）根据幂函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，得出其指数大于0建立关于m的不等关系求得m，再结合f（x）的奇偶即可求函数f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=x4从而g（x）=2x2-8x+q-1，g（x）＞0对任意x∈[-1，1]恒成立⇔g（x）min＞0，x∈[-1，1]．利用二次函数的性质研究g（x）在[-1，1]上单调递减，从而得出实数q的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m2+2m+3＞0即m2-2m-3＜0
∴-1＜m＜3
又∵m∈Z∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数．
∴f（x）=x4
（2）由f（x）=x4知g（x）=2x2-8x+q-1，g（x）＞0对任意x∈[-1，1]恒成立⇔g（x）min＞0，x∈[-1，1]．
又g（x）=2x2-8x+q-1=2（x-2）2+q-9
∴g（x）在[-1，1]上单调递减，于是g（x）min=g（1）=q-7．
∴q-7＞0，q＞7
故实数q的取值范围是（7，+∞）．