Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，异面直线A₁B与B₁C₁所成角的大小为．
（1）求侧棱AA₁的长；
（2）求点B₁到平面A₁BC的距离．

Answer

（1）设AA1=a，求侧棱AA1的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，由于此角余弦值已知，且△A1BC的边A1B，A1C的长度都可以用侧棱AA1的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA1的方程．
（2）本小题求点到面的距离，在立体几何中一般采取用等体积法求解，观察图形知，点到面的距离易得．
【解析】
（1）∵B1C1∥BC，
∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，…（2分）
设AA1=a，则在△A1BC中，，BC=2，…（4分）
于是，…（6分）解得a=4．…（7分）
所以，侧棱AA1的长为4．…（8分）
（2）设B1到平面A1BC的距离为h，因为，
而，…（9分）
，…（10分）
于是，，解得．…（13分）
所以，点B1到平面A1BC的距离为．…（14分）