Question

设函数f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．

Answer

（1）用定义法证明先取任意的x1＜x2＜0，代入解析式作差，判断差的符号，然后由定义得出结论．
（2）原方程为（x-a）2=|x|，先对a进行分类讨论，然后利用根与系数的关系及已知条件结合图象即可求出结果．
【解析】
（1），任取x1，x2∈[a，+∞），且x1＜x2，
则，…（3分）
因为 a＞0，x1≥a，x2≥a且x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞a2，…（4分）
所以F（x2）-F（x1）＞0，所以函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数．…（6分）
（2）原方程为（x-a）2=|x|，
①当a=0时，原方程变为x2=|x|，有-1，0，1三个解；…（8分）
②当a＜0时，函数y=（x-a）2与y=|x|的图象在x＜0时有两个交点，所以原方程在x＜0时有两个不相等的实数解，要使原方程在x＞0时恰有一个解，当且仅当函数y=（x-a）2与y=|x|的图象在x＞0时有且仅有一个公共点，即方程（x-a）2=x的判别式等于0，即（2a+1）2-4a2=0，解得；…（10分）
③同理，当a＞0时，原方程在x＞0时有两个不相等的实数解，要原方程在x＜0时恰有一个解，当且仅当方程（x-a）2=-x的判别式等于0，即（2a-1）2-4a2=0，
解得．…（12分）
综上，a的值所组成的集合为．…（14分）