Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）对（1）中的椭圆C，直线y=x+1与C交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（3）设B为椭圆C：（a＞b＞0）的短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①；②a²+b²=2a²b²．求椭圆长轴的取值范围．

Answer

（1）直接根据条件列出关于a2，b2，c2的方程，求出a2，b2，c2即可得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立得到关于P、Q两点坐标之间的关系，再结合两点间的距离公式即可求|PQ|的值；
（3）先根据①知，再结合②整理去掉b即可求出椭圆长轴的取值范围（注意长轴的长是指2a）．
（本题满分（16分），第1题（4分），第2题（6分），第3题6分）
【解析】
（1）由已知，a2=b2+1，且2b2=a2+1，…（2分）
解得a2=3，b2=2，所以椭圆C的方程是．…（4分）
（2）将y=x+1代入椭圆C的方程，得，化简得，5x2+6x-3=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，…（6分）
所以，|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1x2]=，
所以．…（10分）
（3）由①知，，即，…（11分）
由②得，，而，即，…（13分）
解得，…（15分）
所以，椭圆长轴的取值范围是．…（16分）