Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数的图象上．
（1）若数列{a_n}是首项为1，公差也为1的等差数列，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中的数列{a_n}和{b_n}，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试证明：对一切正整数n，；
（3）对（1）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，问a₅是数列{d_n}中的第几项．若设S_n是数列{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀的值．

Answer

（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出bn的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出直线PnPn+1的方程，然后求出它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），，表示出所围成的三角形面积为cn，最后利用作差法判定数列{cn}的单调性，从而求出cn范围；
（3）从第一项a1=1开始到a5=5为止，共插入了3+31+32+33=40个3，从而确定a5=5是数列{dn}中的第45项，在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3，则S100=S45+55×3，从而求出所求．
（本题满分（18分），第1题（4分），第2题（6分），第3题8分）
【解析】
（1）由已知，an=n，所以，（n为正整数）．…（4分）
（2）因an=n，，∴，，…（5分），直线PnPn+1的方程为，…（6分），
它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），，
∴，…（8分），
∴数列{cn}随着n的增大而减小 …（9分）
∴．…（10分）
（3）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1=1开始到a5=5为止，
共插入了3+31+32+33=40个3，∴a5=5是数列{dn}中的第45项…（14分）
在数列{dn}中，a5=5到a6=6中间插入了34=81个3
∴S100=S45+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）