Question

已知函数f（x）=a•2^x-1+2^-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

Answer

（1）直接根据偶函数的定义得到f（1）=f（-1），即可求出a的值；再用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增即可；
（2）直接根据偶函数中f（-x）=f（x）=f（|x|），再结合其在[0，+∞）上的单调性即可求出不等式的解集．
【解析】
（1）f（x）为偶函数，所以f（1）=f（-1），
即：，解得：a=2
证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）==
∵x1＜x2，∴
∵x1，x2∈[0，+∞），∴
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=2x+2-x在[0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）为偶函数，a=2，
不等式f（2logax-1）＞f（logax+1）
变为f（|2log2x-1|）＞f（|log2x+1|），
由于f（x）=2x+2-x在[0，+∞）上单调递增，
所以|2log2x-1|＞|log2x+1|，
两边平方，得：log22x-2log2x＞0，
∴log2x＜0，或log2x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4