Question

对于正整数k，g（k）表示k的最大奇因数，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，记f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n为正整数．
（1）分别计算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求证：当n≥2时，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）记a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），当{a_n}为递增数列时，求实数k的范围．

Answer

（1）k的最大奇因数是指k的约数当中的最大的奇数，由此定义可得g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，g（5）=5，g（6）=3，g（7）=7，g（8）=1，代入要求了代数式，即可以得出它们的值；
（2）正整数分为正奇数和正偶数，由此将从1、2、…，到2n的数进行分类，可得当n≥2时，f（n）=g（1）+g（2）+
g（3）+…+g（2n）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n）=（2n-1）2+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1））=4n-1+f（n-1），等式成立；
（3）在（2）的结论的基础上，可得f（n）-f（n-1）=4n-1，然后分别将n=1、n=2、n=3，…，代入用累加的方法可以求得
f（n）=42+43+…+4n-1+f（2）=成立，由此代入an=f（n+1）+k（-1）nf（n），得出an的表达式．最后讨论{an}为递增数列，说明an+1-an＞0在正整数范围内恒成立，可以得出．
【解析】
（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7=16；
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）证明：∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2k）
=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•k）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）
∴当n≥2时，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n）
=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n）
=1+3+5+…+（2n-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1）
==4n-1+f（n-1）
（3）由（2）得，当n≥2时，f（n）=4n-1+f（n-1），即f（n）-f（n-1）=4n-1
∴f（3）-f（2）=42，f（4）-f（3）=43，f（n）-f（n-1）=4n-1
可得f（n）=42+43+…+4n-1+f（2）=
当n=1时，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴n∈N*

∵{an}为递增数列
∴当n∈N*时，an+1-an==恒成立
当n为正奇数时，
∵当n=1时，取到最大值-2
∴k＞-2；
当n为正偶数时，
∵当n=2时，取到最小值
∴
∴