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函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的常数,当0≤x...

函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的常数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),
(1)若函数y=f(x),x∈R是周期函数,写出符合条件a的值;
(2)求n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,求y=f(x)的表达式y=fn(x);
(3)若函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是闭区间,求a的取值范围.
(1)根据f(x+1)=af(x),函数y=f(x),x∈R是周期函数,求出a的值,然后分别求出a所对应的周期; (2)利用递推关系可得fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n),然后将x-n代入当0≤x≤1时,f(x)的解析式; (3)要使函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是闭区间,而fn(x)=an(x-n)(n+1-x),则,讨论|a|与1的大小,验证函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是否是闭区间即可. 【解析】 (1)∵f(x+1)=af(x),函数y=f(x),x∈R是周期函数 ∴a=±1 当a=1时,f(x+1)=f(x),则T=1(3分) 当a=-1时,f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=f(x),则T=2(6分) (2)n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时 fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n)(9分) ∴fn(x)=an(x-n)(n+1-x)(9分) (3)∵fn(x)=an(x-n)(n+1-x), ∴(14分) 当|a|>1时f(x)∈(-∞,+∞)舍去 当a=1时符合 当a=-1时符合 当0<a<1时符合 当-1<a<0时符合 ∴a∈[-1,0)∪(0,1](18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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