Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）当k=5，M=100时，对给定的首项，若由已知条件该数列被唯一确定，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记S_k=a₁+a₂+…+a_k，对于确定的常数d，当S_k取到最大值时，求数列{a_n}的首项．

Answer

（1）利用a12+ak+12≤M，结合a1=2，当k=3时，M=100，可求d的值，从而可以写出所有这样数列的前4项；
（2）由题意，关于kd的不等式（kd）2+2a1•kd+2a12-100≤0的解集是单元素集，从而可求其首项与公差，进一步可得数列{an}的通项公式；
（3），所以，利用a12+ak+12≤M，化简可得，从而有，当且仅当时，
Sk取到最大值，故问题得解．
【解析】
（1）因为d是正整数，由22+（2+3d）2≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的数列为2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分），故问题得解．
（2）由题意，关于kd的不等式（kd）2+2a1•kd+2a12-100≤0的解集是单元素集，…（5分）
所以△=（2a1）2-4（2a12-100）=0，解得a1=±10．…（7分）
因为kd＞0，所以a1＜0，即a1=-10，5d=-10，d=-2，所以an=2n-12．…（10分）
（3），所以…（11分），…（12分）
化简得…（14分）
当时，，即…（15分）
所以当Sk取到最大值时有，…（16分）
即，解得．…（18分）