Question

等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若q＞0，且，求证p+q＞2．

Answer

（1）根据奇函数的定义易得f（0）=0，当x＞0时，据 f（x）=-f（-x）求出解析式，即得f（x）在R上的解析式．
（2）根据条件求出数列{bn}的通项公式 bn=2n-1，把 和
相减可得an=3n-2．
（3）根据f（x） 的定义域为R，所以p-1≥0，即p≥1； 由于an＞0，及 ，可得 q3＞1，即q＞1，从而得到 p+q＞2．
【解析】
（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
当x＞0时，，
所以，f（x）=．
（2）当n=1时，a1=b1=1；由题意可得 bn=1+（n-1）2=2n-1．
当n≥2时，由于，
所以，
相减计算得an=3n-2，
检验得an=3n-2（n∈N*）．
（3）由于f（x）= 的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于an＞0，
所以 =．

由于，所以q3＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．