Question

已知函数 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（3）若f^-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值．

Answer

（1）利用真数大于0，结合指数函数的单调性可求；
（2）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（3）先求反函数，再表达出F（x）=f-1（2x）-f（x），利用基本不等式可求函数的最小值．
【解析】
（1）函数 f（x）=log3（3x-1），得：3x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定义域 是（0，+∞）．
（2）设在（0，+∞）上任取x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=
由y=3x在定义域（0，+∞）内单调递增得：，∴，∴f（x2）-f（x1）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递增（3分）
（3）由 f（x）=log3（3x-1），得：f-1（x）=log3（3x+1），∴F（x）=f-1（2x）-f（x）=

当x=时，F（x）最小值为