Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+和2-．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer

（1）由椭圆的几何性质可得焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入即可．
（2）斜率k的取值范围，须将k用其它参数表示，先设直线l的方程，代入椭圆方程，求x1+x2和x1x2，再根据∠AOB为锐角得到向量的数量积大于0，用直线l的斜率k表示的数量积，即可得到k的范围．
（3）先根据椭圆的对称性判断PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．设四边形PQSR的一条对角线的方程，根据菱形对角线互相垂直，可得另一条对角线的方程，分别与椭圆方程联立，再借助菱形各边长相等，即可得到a，b满足的条件．
【解析】
（1）由题意得，解得a=2，c=，b=1
所求的方程为
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1）
由得（1+4k2）x2+16kx+12=0．
∵△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，∴k∈（-∞，-）∪（，+∞）（1）
又x1+x2=，
由0°＜∠AOE＜90°⇔∴
所以=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）
=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=+2k+4＞0
∴-2＜k＜2  （2）
由（1）（2）得：k∈（-2，-）∪（，2）．
（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为-，Q（x2，-）
由，得（1），同理（2）
在Rt△OPQ中，由d|PQ|=|OP||OQ|，即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2
所以，化简得，
k2（）+=1+k2，即．
综上，d=1时a，b满足条件