Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）若数列{a_n}的各项均为整数，对给定的常数d，当数列由已知条件被唯一确定时，证明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此时数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）根据当k=3时，M=100，d是正整数，建立关系式，即可求出d的值，从而求出数列的前4项；
（2）由题意得2a12+2kda1+（kd）2-M≤0（*），令f（a1）=2a21+2kda1+（kd）2-M，因为d，k均是正数，所以对称轴，开口向上，从而确定a1的范围；
（3）设ak+1=x，则S=（k+1）x+，转化成关于x的二次函数求最值，从而求出此时数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）因为d是正整数，由22+（2+3d）2≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的数列为2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分）
（2）由题意得2a12+2kda1+（kd）2-M≤0（*）．…（5分）
令f（a1）=2a21+2kda1+（kd）2-M，
因为d，k均是正数，所以对称轴，开口向上，…（6分）
①当（kd）2-M＞0时，若（*）有整数解，则必有a1＜0．…（8分）
②当（kd）2-M≤0时，若（*）只有一个整数解，则必有a1=0．…（10分）
（3）设ak+1=x，则S=（k+1）x+，所以kd=…（12分）
M≥，…（13分）
故M≥，即S≤，…（14分）
当S=时，x=，d=，…（15分）
此时，所以S的最大值为．…（16分）
由，所以，…（17分）
此时．…（18分）