Question

设函数f（x）=x²+ax+b•2^x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=    ．

Answer

分析函数的结构特点，先由{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，得到x2+ax+b•2x=（x2+ax+b•2x）22+a（x2+ax+b•2x）+必有实数解，当x=0时，b=b2+ab+b•2b，b=0满足条件．然后进行化简，得到x2+ax=（x2+ax）2+a（x2+ax），当a=1时，（x2+x）2=0，x=0．由此得到满足上述条件的一个函数f（x）的例子f（x）=x2+x．
【解析】
∵函数f（x）=x2+ax+b•2x（a≠0），
{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，
∴x2+ax+b•2x=（x2+ax+b•2x）22+a（x2+ax+b•2x）+必有实数解，
当x=0时，b=b2+ab+b•2b，
b=0满足条件．
把b=0代入x2+ax+b•2x=（x2+ax+b•2x）22+a（x2+ax+b•2x）+，
得x2+ax=（x2+ax）2+a（x2+ax），
当a=1时，（x2+x）2=0，x=0．
综上所述，当a=1，b=0，f（x）=x2+x时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ．
故答案为：f（x）=x2+x．
（答案不唯一，（只要0＜a＜4且b=0即可）．