Question

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．

Answer

（1）由对数的真数大于零得，ax-bx＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；
（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a-b与1的大小．
【解析】
（1）要使函数有意义，则ax-bx＞0，∴，
∵，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴，，则，
∴，∴．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，则a-b≥1．