Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，点D、E分别是棱BC、AP的中点．
（1）试用反证法证明直线DE与直线CP是异面直线；
（2）若PA=PB=PC=4，F为棱AB上的点，且，求二面角D-EF-B的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）用反证法证明，假设DE与CP不是异面直线．设DE与CP都在平面α上．由P∈α，E∈α，知PE⊊α．A∈α．由C∈α，D∈α，CD⊊α．知B∈α．从而得到点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，由此得到直线DE与CP是异面直线．
（2）建立恰当的空间直角坐标系．借助法向量用向量法求二面角D-EF-B的大小．
【解析】
（1）证明：（反证法）假设DE与CP不是异面直线．（2分）
设DE与CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE⊊α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD⊊α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线DE与CP是异面直线．（6分）
 （2）按如图所示建立空间直角坐标系． （7分）
由题可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），进一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一个法向量为．
设平面DEF的一个法向量为，则，即．
取x=1，得y=-1，z=2．
所以．             （9分）
记，于是，，．     （10分）
结合图形可以判断二面角D-EF-B是锐角，因此二面角D-EF-B的大小为． （12分）