Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer

（1）将an+12=2an2+anan+1，化简为（an+1+an）（2an-an+1）=0，又an＞0，得出2an=an+1，数列{an}是公比为2的等比数列．
（2）利用错位相消法求和即可．
【解析】
（1）因为an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0，又an＞0，所以有2an-an+1=0，所以2an=an+1，所以数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2，故an=2n（n∈N*）
（2）nan=n•2n，Sn=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n①2Sn=22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②有-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
故Sn=（n-1）•2n+1+2（n∈N*）