Question

已知椭圆的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若，（其中O为坐标原点）．求椭圆C离心率e的最大值．

Answer

由已知中椭圆的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，，我们易得PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，进而由，我们可以得到离心率e平方的表达式，分析出其对应函数的单调性，进而得到椭圆C离心率e的最大值．
【解析】
由题意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，则有△F1OH与△F1PF2相似，
所以，设F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，P（c，y1），
则有，解得，
所以．
根据椭圆的定义得：，
∴，
即，
所以，
∵在上是单调减函数，
∴当时，e2取最大值，
所以椭圆C离心率e的最大值是．