Question

已知函数，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）当a≥1时，判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）根据2f（1）=f（-1）建立等式关系，解之即可求出a的值；
（2）若a≥1，任取0≤x1＜x2，然后通过化简变形判定f（x1）-f（x2）与0的大小，从而确定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）根据函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数则任取1≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，从而求出a的范围．
【解析】
（1）由2f（1）=f（-1），可得：，…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x1＜x2
==…（6分）
因为，，所以…（8分）
因为a≥1，则f（x1）-f（x2）＞0，f（x）在[0，+∞）单调递减     …（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，f（x1）-f（x2）=，因为f（x）单调递增，
所以f（x1）-f（x2）＜0，又x1-x2＜0，那么＞0恒成立 （12分），…（14分）   所以…（16分）