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对于给定数列{cn},如果存在实常数p,q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N...

对于给定数列{cn},如果存在实常数p,q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是“M类数列”.
(1)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,数列{an}、{bn}是否为“M类数列”?若是,指出它对应的实常数p,q,若不是,请说明理由;
(2)证明:若数列{an}是“M类数列”,则数列{an+an+1}也是“M类数列”;
(3)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t为常数.求数列{an}前2009项的和.并判断{an}是否为“M类数列”,说明理由;
(4)根据对(2)(3)问题的研究,对数列{an}的相邻两项an、an+1,提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题,并探究其逆命题的真假.
本题考查的知识点是演绎推理和类比推理.(1)的解题思路是判断an,bn是否满足“M类数列”的定义:存在实常数p,q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立.找到常数p、q是解决问题的关键.(2)是看数列{an+an+1}是否也满足“M类数列”的定义,根据已知想办法将数列{an+an+1}的通项公式转化为“M类数列”的一般形式.(3)要先求出数列{an}的通项公式,然后利用(1)的解法解决问题.(4)是要根据(2)、(3)的结论,进行归纳,大胆猜想出一个与“M类数列”相关的真命题,原则是尽可能的要简单,以便后续的证明. 【解析】 (1)因为an=2n,则有an+1=an=+2,n∈N*, 故数列{an}是“M类数列”,对应的实常数分别为1,2. 因为bn=3•2n,则有bn+1=2bn,n∈N*, 故数列{bn}是“M类数列”,对应的实常数分别为2,0. 证明:(2)若数列{an}是“M类数列”,则存在实常数p,q, 使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立, 且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立, 因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立, 故数列{an+an+1}也是“M类数列”. 对应的实常数分别为p,2q. 【解析】 (3)因为an+an+1=3t•2n(n∈N*), 则有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,…, a2006+a2007=3t•22006,a2008+a2009=3t•22008, 数列{an}前2009项的和S2009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2006+a2007)+(a2008+a2009) =2+3t•22+3t•24+…+3t•22006+3t•22008=2+t(22010-4), 若数列{an}是“M类数列”,则存在实常数p,q 使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立, 且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立 因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立, 而an+an+1=3t•2n(n∈N*),则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*,都成立, 可以得到t(p-2)=0,q=0, ①当p=2,q=0时,an+1=2an,an=2n,t=1,经检验满足条件. ②当t=0,q=0时,an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1,经检验满足条件. 因此当且仅当t=1或t=0,时,数列{an}也是“M类数列”,对应的实常数分别为2,0,或-1,0. 【解析】 (4)命题一:若数列{an}是“M类数列”,则数列{an-an+1}也是“M类数列”. 逆命题:若数列{an-an+1}是“M类数列”,则数列{an}也是“M类数列”. 当且仅当数列{an-an+1}是常数列、等比数列时,逆命题是正确的. 命题二:若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列” 逆命题:若数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列”则数列{an}是等比数列. 逆命题是正确的.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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