Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（3）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），利用右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍所以c=1，且b=2c=2，故方程可求；
（2）设P（x，y），则=
根据x的取值范围能够得到的最大值和最小值；
（3）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5），再把直线y=k（x-5）和椭圆 联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由．
【解析】
（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以椭圆的方程是…（4分）
（2）易知F1=（-1，0），F2（1，0）…（6分）
设P（x，y），则
=…（8分）∵，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4     …（10分）
（3）假设存在这样的直线：y=kx+b   5k+b=0 k=-
连接F2C，F2D，并作F2H垂直于CD，交直线y与H，△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为（x1，y1）D 点的坐标为（x2，y2），DH的斜率为：
把y=kx+b和联立，并消去y：
（20+b2）x2-10b2 x+25b2-100=0
根据二次方程定理：
同理
∴直线的斜率．方程b无解
故不存在直线，使得|F2C|=|F2D|