Question

通过研究函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在实数范围内的零点个数为    ．

Answer

对函数f（x）=2x4-10x2+2x-1进行求导，求得函数的极值，单调性，判断零点个数，对于函数g（x）=2xn+10x2-2x-1（n≥3，n∈N）用同样的方法可得，注意计算时整体代换．
【解析】
∵函数f（x）=2x4-10x2+2x-1，
∴f′（x）=8x3-20x+2=2（4x3-10x+1）
在f′（x）=0时，
f（x）=2x4-10x2+2x-1，
=2x4-5x2+x-5x2+x-1，
=（4x3-10x+1）-5x2+x-1=-5x2+x-1，
由于判别式△＜0，所以，f（x）的所有极值均是负数．
又因为当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大，
所以，零点有两个．
对任意g（x）=2xn+10x2-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0时有，
g（x）=（-10）x2+（2-）x-1
可知n＞3时，其判别式△＜0
所以，当n为偶数时，有两个零点
n为奇数时，有3个零点，
故答案为．