Question

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．
（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？

Answer

（1）利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用h表示；将梯形周长用h表示；利用基本不等式求出周长的最小值．
（2）利用函数单调性的定义判断出函数的单调性；利用函数的单调性求出周长的最小值．
【解析】
（1），AD=BC+2×hcot60°=BC+，，解得．
设外周长为l，则=；
当，即时等号成立．外周长的最小值为米，此时堤高h为米．
（2），设，
则=，l是h的增函数，
∴（米）．（当h=3时取得最小值）．