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(文)在平面直角坐标系xoy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,...

(文)在平面直角坐标系xoy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为正实数)代替(x,y)得到曲线C2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.
(1)已知曲线C1的方程为manfen5.com 满分网,伸缩比λ=2,求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程;

(2)已知抛物线C1:y2=2x,经过伸缩变换后得抛物线C2:y2=32x,求伸缩比λ.
(3)射线l的方程manfen5.com 满分网,如果椭圆C1manfen5.com 满分网经“伸缩变换”后得到椭圆C2,若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B,且manfen5.com 满分网,求椭圆C2的方程.
(1)曲线C1的方程为,伸缩比λ=2,根据“伸缩变换”后所得曲线C2的方程; (2)抛物线C1:y2=2x,经过伸缩变换后得抛物线C2:λ2y2=λx,⇒y2=x对照方程得出λ即可; (3)根据C2、C1关于原点“伸缩变换”,对C1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),解方程组结合弦长公式得出关于λ的方程,解得λ,最后写出椭圆C2的方程即得. 【解析】 (1)曲线C1的方程为,伸缩比λ=2, ∴C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程为:,即; (2)抛物线C1:y2=2x,经过伸缩变换后得抛物线C2:λ2y2=λx,⇒y2=x =32,⇒则伸缩比λ=; (3)∵C2、C1关于原点“伸缩变换”,对C1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0), 得到C2,(12分) 解方程组得点A的坐标为(14分) 解方程组得点B的坐标为(15分) ==, 化简后得3λ2-8λ+4=0,解得, 因此椭圆C2的方程为或.(18分)(漏写一个方程扣2分)
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考点分析:
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(理)在平面直角坐标系xoy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为正实数)代替(x,y)得到曲线C2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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