Question

（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；

（2）已知抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：y²=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程，如果椭圆C₁：经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且，求椭圆C₂的方程．

Answer

（1）曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，根据“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=x对照方程得出λ即可；
（3）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程组结合弦长公式得出关于λ的方程，解得λ，最后写出椭圆C2的方程即得．
【解析】
（1）曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，
∴C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程为：，即；
（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=x
=32，⇒则伸缩比λ=；
（3）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C2，（12分）
解方程组得点A的坐标为（14分）
解方程组得点B的坐标为（15分）
==，
化简后得3λ2-8λ+4=0，解得，
因此椭圆C2的方程为或．（18分）（漏写一个方程扣2分）