Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“M类数列”；
（3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2009项的和．并判断{a_n}是否为“M类数列”，说明理由；
（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．

Answer

本题考查的知识点是演绎推理和类比推理．（1）的解题思路是判断an，bn是否满足“M类数列”的定义：存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立．找到常数p、q是解决问题的关键．（2）是看数列{an+an+1}是否也满足“M类数列”的定义，根据已知想办法将数列{an+an+1}的通项公式转化为“M类数列”的一般形式．（3）要先求出数列{an}的通项公式，然后利用（1）的解法解决问题．（4）是要根据（2）、（3）的结论，进行归纳，大胆猜想出一个与“M类数列”相关的真命题，原则是尽可能的要简单，以便后续的证明．
【解析】
（1）因为an=2n，则有an+1=an=+2，n∈N*，
故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为bn=3•2n，则有bn+1=2bn，n∈N*，
故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
证明：（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q，
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
故数列{an+an+1}也是“M类数列”．
对应的实常数分别为p，2q．
【解析】
（3）因为an+an+1=3t•2n（n∈N*），
则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•24，…，
a2006+a2007=3t•22006，a2008+a2009=3t•22008，
数列{an}前2009项的和S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2006+a2007）+（a2008+a2009）
=2+3t•22+3t•24+…+3t•22006+3t•22008=2+t（22010-4），
若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而an+an+1=3t•2n（n∈N*），则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*，都成立，
可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，an+1=-an，an=2（-1）n-1，p=-1，经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0，或-1，0．
【解析】
（4）命题一：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an-an+1}也是“M类数列”．
逆命题：若数列{an-an+1}是“M类数列”，则数列{an}也是“M类数列”．
当且仅当数列{an-an+1}是常数列、等比数列时，逆命题是正确的．
命题二：若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列”
逆命题：若数列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、是“M类数列”则数列{an}是等比数列．
逆命题是正确的．