Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（3）若P是该椭圆上的一个动点，点A（5，0），求线段AP中点M的轨迹方程．

Answer

（1）利用右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍，可求c=1，且b=2c=2，从而可求椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示向量，结合椭圆的范围，从而确定向量数量积的最大值；
（3）设设M（x，y），利用M是AP的中点，求得P点坐标为（2x-5，2y），代入椭圆方程可求解．
【解析】
（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以椭圆的方程是…（4分）
（2）易知F1=（-1，0），F2（1，0）…（6分）
设P（x，y），则
=…（8分）∵，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4     …（10分）
（3）设M（x，y），则P点坐标为（2x-5，2y），…（12分）
代入椭圆方程，得：，即…（16分）