Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（），求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）根据解决问题（2）的经验与体会，请运用类比、推广等思想方法，提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论，并加以解决．（本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值）

Answer

（1）根据椭圆的焦点在x轴上，可知），根据右焦点到直线的距离为3，可得，从而可求a=2，故可得椭圆C的轨迹方程；
（2））设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），
由于，所以，利用点在椭圆上，有（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般即可得结论：若A、B是椭圆（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．
【解析】
（1），
根据右焦点到直线的距离为3，可得，∴a=2
∴椭圆C的标准方程：
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），
由于，所以（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般
 若A、B是椭圆（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．