Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，证明数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer

（1）由已知中Sn+1=2Sn+3n，bn=Sn-3n，n∈N*，我们可以得到为定值2，根据等比数列的定义，即可得到数列{bn}为等比数列；
（2）由（1）中结论，我们易求出数列{bn}的通项公式，进而得到Sn的表达式，进而根据an=Sn-Sn-1，n≥2，可以求出数列{an}的通项公式；
（3）根据数列an+1≥an，n∈N*，我们可（2）中数列{an}的通项公式，构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．
【解析】
（1）当a≠3时，=2
所以{bn}为等比数列．                                                   （4分）
（2）b1=S1-3=a-3，（1分）bn=（a-3）×2n-1．                                 （2分）
所以Sn-3n=（a-3）×2n-1（3分）an=Sn-Sn-1，n≥2，n∈N*；                                （6分）
（3）an+1≥an，，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3．                                                  （6分）