Question

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量与向量共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）数列{a_n}的通项a_n；
（2）数列{}的前n项和T_n．

Answer

（1）先根据点Bn（n，bn）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，得出=6，即bn+1-bn=6，从而得出数列{bn}是等差数列，结合向量共线条件得出an+1-an=bn最后利用分组求和的方法即可求得数列{an}的通项an；
（2）由于，利用逐差求和法即可求得数列{}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵点Bn（n，bn）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴=6，
即bn+1-bn=6，
于是数列{bn}是等差数列，
故bn=12+6（n-1）=6n+6．
∵共线．
∴1×（-bn）-（-1）（an+1-an）=0，
即an+1-an=bn
∴当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
当n=1时，上式也成立．
所以an═3n（n+1）．
（2），

=．