Question

已知a、b、c是△ABC三边长，关于x的方程的两根之差的平方等于4，△ABC的面积．
（I）求∠C；
（II）求a、b的值．

Answer

（I）设出方程的两个根，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，根据两根之差的平方等于4，利用完全平方公式化简后，把两根之和和两根之积代入即可得到关于a和b的关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的关系式代入即可求出cosC的值，然后根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（II）根据三角形的面积公式及sinC的值表示出面积S，让S等于10得到ab的值记作①，根据余弦定理表示出一个关系式，把及c的值和cosC的值代入即可求出a+b的值记作②，联立①②即可求出a与b的值．
【解析】
（I）设x1，x2为方程的两根．
则，．
∴．
∴a2+b2-c2=ab．
又，
∴，
∴∠C=60°；
（II）由，∴ab=40．①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
即c2=（a+b）2-2ab（1+cos60°），
∴，
∴a+b=13．②
由①、②，得a=8，b=5．