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已知二次函数f(x)=x2+bx+c(x∈R),同时满足以下条件: ①存在实数m...

已知二次函数f(x)=x2+bx+c(x∈R),同时满足以下条件:
①存在实数m,使得f(m)=0,且对任意实数x,恒有f(x)≥0成立;
②存在实数k (k≠0),使得f(1-k)=f(1+k)成立.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=f(n),数列{bn}满足关系式manfen5.com 满分网,问数列{bn}中是否存在不同的3项,使之成为等比数列?若存在,试写出任意符合条件的3项;若不存在,请说明理由.
(1)二次函数有最小值0,二次函数的对称轴为直线x=1,求出b,c的值,即可求出函数y=f(x)的解析式 (2)根据Sn与an的关系 ,根据等比数列性质得出p、q、r的关系方程,研究方程的解的情况作出判断. 【解析】 (1)由①得,二次函数有最小值0,故(2分) 二次函数的对称轴为直线x=1,故,(4分) 即b=-2,c=1f(x)=x2-2x+1 (6分) (2)Sn=n2-2n+1(n∈N*)∴(2分) ∴(4分) 设数列的p、q、r(p<q<r)项使得bp、bq、br成等比数列. (ⅰ)若p=1时,, 则bq2=b1•br∴∴ ∴①② 由于②式左边为偶数,右边为奇数,显然q、r不存在.                  (3分) (ⅱ)若1<p<r<q,p、q、r∈N* 则∴ ∴⇒p+r=2q⇒(p+r-1)2=(2p-1)(2r-1)⇒(p-r)2=0 ∴p=r产生矛盾                                                       (7分) 综上所述,这样的三项不存在.                                          (8分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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