Question

设函数F（x）=，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F（x）的解析式；
（2）求函数F（x）的最小值．

Answer

（1）令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），解得：x的取值范围，再结合F（x）的意义用分段函数形式写出函数F（x）的解析式即可；
（2）先分情况讨论函数的单调性：当x≥3或x≤-3时；当-3＜x＜3，分别求出F（x）的最小值，最后综合得出x∈R时，F（x）min=log27．
或利用F（x）的奇偶性，只需要考虑x≥0的情形，只须分两种情形讨论：当0≤x＜3，当x≥3时，分别求得F（x）的最小值即得．
【解析】
（1）F（x）=，（1分）
令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），得x2-|x|-6≥0，（3分）
解得：x≤-3或x≥3，（5分）∴F（x）=．（8分）
（写出4分）
（2）当x≥3或x≤-3时，F（x）=log2（x2+1），设u=x2+1≥10，y=log2u在[10，+∞）上递增，所以F（x）min=log210（10分）；（说明：设元及单调性省略不扣分）
同理，当-3＜x＜3，F（x）min=log27；（12分）
又log27＜log210∴x∈R时，F（x）min=log27．（14分）
或【解析】
因为F（x）是偶函数，所以只需要考虑x≥0的情形，（9分）
当0≤x＜3，F（x）=log2（x2+7），当x=0时，F（x）min=log27；（11分）
当x≥3时，F（x）=log2（x2+1），当x=3时，F（x）min=log210；（12分）∴x∈R时，F（x）min=log27．（14分）