Question

（文）已知向量， （n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率．

Answer

（1）先根据向量的数量积求出f（x）的解析式，再求出f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x即可得到数列{an}的通项公式；
（2）先求出数列{bn}通项公式；进而求出前n项和Sn，代入所求整理即可得到结论；
（3）先根据条件得到A2008（2008，a20082），A2010（2010，2010n2），再代入斜率的计算公式即可得到结论．
【解析】
（1）f（x）==x2-2x+1（2分）
抛物线的顶点横坐标为，
开口向上，在（0，+∞）上当时函数取得最小值，所以；（4分）
（2）∵bn=an+12-an2=（n+1）2+1-（n2+1）=2n+1．
是首项为3，公差为2的等差数列，
所以：Sn==n2+2n；
∴===．
∴=2．
（3）∵A2008（2008，a20082），A2010（2010，2010n2），
∴k==4018．