Question

已知函数，（x＞0），其中a，b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）；
（2）当时，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）对参数a进行讨论．当a＜0时，在（0，+∞）上是增函数；当a=0，时f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0，时f（x）在上是减函数，在上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在上恒成立，即等价于f（x）max≤10在上恒成立，由于函数在上的最大值在，1上取得，故只需比较，f（1）=1+a+b即可，从而可求b的取值范围．
【解析】
（1）当a＜0时，，在（0，+∞）上是增函数；
当a=0时，f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在上是减函数，在上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在上恒成立，即等价于f（x）max≤10在上恒成立
，f（1）=1+a+b
因为，所以=＞0
所以，，
即