Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k（k=1，2，3…）是关于x的方程x²-（4k+2+2^k）x+（2k+1）×2^k+1=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer

（1）先将方程因式分解求出方程两个根，即求出a2k-1与a2k，然后分别令k=1和2，即可求出a1，a2，a3，a4的值；
（2）当k≤4，即n≤8时，奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，当k≥5，即n≥9时，奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，然后利用分段函数表示即可；
（3）当k≤4，即n≤8时，讨论n的奇偶，分别进行求和，当k≥5，即n≥9时，也讨论n的奇偶，分别进行求和，求和时特别注意项数．
【解析】
（1）由（x-（4k+2））（x-2k）=0可知方程两根为4k+2，2k k=1，a1=2，a2=6   k=2，a3=4，a4=10
（2）当k≤4，即n≤8时，
当k≥5，即n≥9时，
（3）当k≤4，即n≤8时，，
ⅰ）当n=2k，k∈N•为偶数时，sn==2k+1-2+2k2+4k=
ⅱ）当n=2k-1，k∈N•为奇数时，sn=+=
当k≥5，即n≥9时，
ⅰ）当n=2k，k∈N*为偶数时，sn==2k+1-2+2k2+4k=
ⅱ）当n=2k-1，k∈N•为奇数时，sn=+2n+4=