Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．

Answer

（1）由，a=2，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），，，由于，所以，则x12+2y12，x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
另【解析】
设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P（x，y）A（x1，y1）B（x2，y2），消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0，，直线AB的中垂线方程为．由此能导出“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），，
由于，所以（x2-x1）（t-x）+（y2-y1）（-y）=0，则x12+2y12①x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0．由此能导出当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
【解析】
（1）∵，a=2
∴椭圆C的标准方程：
（2）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y）
，
由于，所以（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P（x，y）A（x1，y1）B（x2，y2）
消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0
直线AB的中垂线方程为
把点代入得
可知
所以Q的横坐标
即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），
由于，所以（x2-x1）（t-x）+（y2-y1）（-y）=0（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=2t-2＜2t＜2
因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．