Question

已知f（x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，如果直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，则实数a的值为（ ）
A．2k（k∈Z）
B．2k或2k+（k∈Z）
C．0
D．2k或2k-（k∈Z）

Answer

先求出-1≤x≤0时f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]时f（x）的解析式，再据周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]时f（x）的解析式，如图，直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，故直线过顶点或与曲线相切时，满足条件．
【解析】
设-1≤x≤0，则  0≤-x≤1，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
综上，f（x）=x2，x∈[-1，1]，f（x）=（x-2k）2，x∈[2k-1，2k+1]，
由于直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，在一个周期[-1，1]上，
a=0时 满足条件，a=-时，在此周期上直线和曲线相切，
并和曲线在下一个区间上图象
有一个交点，也满足条件． 由于f（x）的周期为2，
故在定义域内，满足条件的a 应是 2k+0 或 2k-，k∈Z．
故选 D．