Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer

（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0，•=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．
【解析】
（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）
BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC（5分）

（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，（7分）
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），（8分）
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，（9分）
∵θ∈（0，）∴θ=（10分）
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（-3，，0），（11分）
=（-3，，-a），=（-3λ，λ，-aλ），
=+=（0，0，a）+（-3λ，λ，-aλ）=（-3λ，λ，a-aλ）（12分）
=（0，，0），=（1，0，-a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x-az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=（15分）