Question

如图，已知M（m，m²）、N（n，n²）是抛物线C：y=x²上两个不同点，且m²+n²=1，m+n≠0，直线l是线段MN的垂直平分线．设椭圆E的方程为．
（Ⅰ）当M、N在抛物线C上移动时，求直线L斜率k的取值范围；
（Ⅱ）已知直线L与抛物线C交于A、B、两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，OP中点为S，若，求椭圆E离心率的范围．

Answer

（1）先用M，N的坐标表示出直线MN的斜率，进而表示出直线l的斜率，根据m2+n2=1，由m2+n2≥2mn求得m和n的不等式关系，进而求得k的范围．
（2）先根据题意整理出直线l的方程，进而代入椭圆和抛物线方程，利用P，S表示出求得a和k的关系，利用（1）中k的范围求得a的范围，进而求得椭圆离心率的范围．
【解析】
（1）∵直线MN的斜率，
又∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线l的斜率
∵m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得2（m2+n2）≥（m+n）2，
即2≥（m+n）2，∴
因M、N两点不同，∴，
∴
（2）∵l方程为：，
又∵m2+n2=1，，
∴l：y=kx+1，代入抛物线和椭圆方程并整理得：x2-kx-1=0（1），
（a+2k2）x2+4kx+2-2a=0（2）
易知方程（1）的判别式△1=k2+4＞0恒成立，方程（2）的判别式△2=8a（2k2+a-1）
∵，a＞0，
∴2k2+a-1＞a＞0，∴△2＞0恒成立
∵R（，+1），S（，），
由得：，
∴，
∵，∴a==2-＞2-=，＜a＜2，
∴，∴a=2-2e2＞，
e2＜，∴0＜e＜，
∴椭圆E离心率的取值范围是（0，）