Question

设F₁，F₂分别是椭圆C：的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点到F₁，F₂两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

Answer

（1）根据椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于4，可知2a=4，求得a．把点和a代入椭圆的标准方程，可求得b．进而可得椭圆的标准方程和焦点坐标．
（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆的标准方程，可得到x和y的关系式即点B的轨迹方程
（3）设M（x，y），N（-x，-y），p（x，y） 把这些点代入椭圆的标准方程，得到后两式相减可得到的值，然后表示出kPM，KPN后相乘并将的值代入可得到结论．
【解析】
（1）由于点在椭圆上，
2a=4，
椭圆C的方程为
焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）
（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）
把K的坐标代入椭圆中得
线段KF1的中点B的轨迹方程为
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得

kPM•KPN==-
kPM•KPN的值与点P及直线L无关