Question

已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b_n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．（1）求a_n、b_n；（2）从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比？若不能的话，请说明理由．

Answer

（1）根据{Sn2}是以3为首项，以1为公差的等差数列求出通项公式，得到Sn，然后根据an=进行求解，根据{bn}是等比数列，求出首项和公比即可求出bn；
（2）设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=（）p，公比为（）k，（p、k∈N），它的各项和等于=，建立等式关系，讨论p和k的大小，从而求出满足条件的等比数列．
【解析】
（1）{Sn2}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+（n-1）=n+2
因为an＞0，所以Sn=（n∈N）（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-
又a1=S1=，所以an=（n∈N） （4分）
设{bn}的首项为b1，公比为q，则有（6分）
所以，所以bn=3n（n∈N）（8分）
（2）=（）n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=（）p，公比为（）k，（p、k∈N），它的各项和等于=，（10分）
则有，所以（）p=[1-（）k]，（12分）
当p≥k时3p-3p-k=8，即3p-k（3k-1）=8，因为p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{cn}的各项和为． （14分）
当p＜k时，3k-1=8.3k-p，因为k＞p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于．（16分）